1.一元一次、一元二次、一元三次、一元四次方程均有根式解，一元n（n≥5）次方程无根式解。
2 .M=2-1（p为素数）表示Mersenne数，将所有素数按从小到大顺序排列:
p<p<p<p<p<…，则
当p=p、p、p、p时，M均为素数，而当p=p时，M不是素数。
3.F=2∧2+1表示Fermat数，当n=1、2、3、4时，F均为素数，而当n=5时，F=641X
6700417不是素数。
4.设平面内的点集中，没有三点共线，在这样的点集中，至少多个点一定包含一个凸n边形，设种点集的顶点数的下确界为R（n），有一个猜想R（n）=2^2+1，当n=3，4，5，6时，已证明猜想均成立。当n≥7时，猜想是否成立，尚属未知。
5.在组合数学中，确定Ramsey数R（m，m）是一个困难的问题，当m=2、3、4时，这样的数值均己确定，而当m≥5时，R（m，m）的值尚属未知。
6.在图论中，优美图是一个有趣的课题，用K表示n个顶点的完全图，已证明，当n=2、3、4时，K均为优美图，而当n≥5时，K不是优美图。
7.设 ζ（m）=1+2+3
+4+…，将ζ（m）变形可得:
ζ（2）=2Σ（1≤n<+∞）
{1/[n^2C（2n，n）]}。
ζ（3）=（5/2）Σ（1≤n<+∞）
{1/[n^3C（2n，n）]}。
ζ（4）=（36/17）Σ（1≤n<
+∞）{1/[nC（2n，n）]}。
对于ζ（m），当m≥5时，未发现类似的公式。
8.用正多边形辅地面:
正三角形、正四边形。正五边形不行，正六边形（六个正三角形拼成一个正六边形），正n（n≥7）形不能辅地面。
9.空间维数:一维、二维、三维。