你心中最优美、最具数学美感的公式是哪一个？人们谈论美，往往会提到“简洁”。就像 E=mc^2，几个概念高度融合；也正因如此，欧拉恒等式常被称为“最美的数学公式”。
我确实觉得它很迷人，但最吸引我的，不只是公式本身，而是它背后那些看似无关却意外关联的东西。人们说它包含了所有基本常数，确实挺“可爱”的。但让我更感兴趣的是：欧拉引入指数函数，原本是为了描述连续增长，比如复利、放射性衰变或任何连续扩张、收缩的过程；而 π 来自圆，与旋转有关，比如你要让指针转180度，就要转 π 弧度。
再来看虚数单位 i，它本质上代表在复平面中“转向90度”。指数函数本是描述线性增长的工具，但一旦你在指数里加入 i，增长就变成了旋转——方向上的变化。所以，这个公式，实际上把指数增长（动力学）、旋转（几何）和虚数（复数）三者统一起来了。它像一座桥梁，连接起数学中的几种基本结构，让我们看到：这些看似孤立的领域，原来是“邻居”。
正是这种出其不意的统一，才让欧拉恒等式成为不朽的象征——它不只美在形式，更美在它揭示出“语言的正确”。一个公式，如果能把原本毫无瓜葛的几个世界——增长与旋转、实数与虚数、几何与代数——牵引到一起，那一定说明：我们正在使用的概念，是对的。
而“找对语言”这件事，并不只发生在数学中。物理学的发展，其实也经历过类似的历程——一开始我们关注那些能被直接测量的量，但真正重要的概念，往往是那些最初默默无闻、后来却成为整个理论核心的“隐藏角色”。
比如 E=mc^2，这里面的“E”（能量）最初并不显眼。在亚里士多德、伽利略和牛顿的时代，人们能测量的是质量、加速度、力，所以像 F=maF = maF=ma 这样的公式成为力学的核心。那时的“能量”只是从这些公式中间接推导出来的量，并不能像质量和速度那样直接测量。
但随着研究深入，人们发现无论系统怎么演化，有些量始终不变，比如动量和能量。19世纪，哈密顿提出了“哈密顿力学”，他把“能量”重新定义为物理系统的核心对象——哈密顿量。只要你能写出一个系统的哈密顿量，你就能完整描述它的动态行为。这种视角的转变，成为后来量子力学得以建立的关键。
早期的量子物理学家很难把牛顿式的“粒子思维”迁移到“波动世界”中去，因为你无法简单地写出量子版的 F=ma。但出人意料地，哈密顿量在量子力学中依然是核心角色——它不再是函数，而是一种称为“算符”的对象。但同样，一旦你知道了系统的哈密顿量，薛定谔方程就可以精确描述它的演化过程。
一边是经典力学中的粒子世界，一边是量子力学中的波动世界，看似完全不同，但有了哈密顿量这个共同核心，两者之间的直觉和规律便可迁移。比如经典力学中的诺特定理告诉我们：每一个对称性都对应一个守恒量。
如果物理定律在空间中平移不变，那么就有动量守恒；如果在时间中不变，就有能量守恒；如果在角度旋转中不变，那就是角动量守恒。这套思想也完美延续到了量子力学中——只要哈密顿量具有某种对称性，系统就会对应地保留一个守恒量。
这说明，一旦你找到了“对”的语言，事情反而会变得清晰。而我们之所以至今无法统一量子力学与广义相对论，一个核心困难正是：我们还不知道最基本的概念应该是什么。
比如，在极小尺度上，时空本身并不是我们熟悉的欧几里得结构，而更像是不断起伏的“泡沫”。在这种情形下，你再拿传统的笛卡尔坐标（x, y, z, t）去描述，就完全行不通了。但我们现在还不知道应该拿什么取而代之。我们需要找到像哈密顿量那样的抽象概念，把这些碎片重新组织起来。